一、背景知识#
1. 数列递推公式及通项公式#
数学において、数列は順序付けられた数字の集合で、通常は $a_1, a_2, a_3, \ldots$ と表されます。数列は再帰的な公式によって定義されることがあり、例えば $a_{n+1} = pa_n + q^n$ のように表されます。再帰的な公式は、数列の隣接する項の間の関係を示します。通項公式は、数列の任意の項の直接的な表現で、通常は $a_n$ の形をしています。
2. 对矩阵的初步认识#
行列は、線形変換を表すために一般的に使用される表形式のデータ構造です。行列の基本的な演算には、加算、スカラー乗法、および行列乗法が含まれます。行列の加算は、同じサイズの二つの行列の対応する位置の要素を加算することです；スカラー乗法は、行列内の各要素を同じスカラーで乗算することです；行列乗法は、二つの行列を掛け合わせて新しい行列を得ることです。数列の問題においては、係数を行列に変換し、行列乗法を通じて再帰関係を簡略化し、通項公式を求めることができます。
二、引入问题#
数列があり、その再帰的な公式が $a_{n+1} = pa_n + q^n$ で、初期条件が $a_1$ であると仮定します。数列の通項公式を求めます。
常规方法#
未定係数法を用いて解きます：
与えられた再帰関係 $a_{n+1} = pa_n + q^n$
私たちの目標は、形式 $a_n + xq^{n+1} = p (a_n + xq^n)$ を見つけることです。これにより、両辺の形式を比較することで $x$ を決定し、数列の通項公式を見つけることができます。
まず、元の再帰式を $a_{n+1} + xq^{n+1} = pa_n + q^n + xq^{n+1}$ に書き換えます。
次に、左辺の形式が右辺の形式と一致することを望みます。すなわち、$a_{n+1} + xq^{n+1} = p (a_n + xq^n)$ です。
これは $pa_n + q^n + xq^{n+1} = pa_n + pxq^n$ を意味します。
両辺の項を比較することで、$q^n + xq^{n+1} = pxq^n$ を得ます。
$q^n(1 + xq) = pxq^n$
したがって、$1 + xq = px$
$1 = px - xq$
$1 = x(p - q)$
$x = \frac{1}{p - q}$
したがって、このような $x$ を見つけた場合、新しい数列 $b_n = a_n + xq^n$ を構築することができ、この数列はより単純な再帰関係 $b_{n+1} = pb_n$ を満たします。
最後に、新しい数列 $b_n$ の通項公式を求め、$a_n = b_n - xq^n$ を通じて元の数列 $a_n$ の通項公式を得ます。
具体的には、$b_n = a_n + \frac {q^n}{p-q}$ です。
$ b_{n+1} = pb_n $ であるため、これは等比数列で、その通項公式は $b_n = b_1 \cdot p^{n-1}$ です。
ここで、$b_1 = a_1 + \frac {q}{p-q}$ です。
したがって、$b_n = (a_1 + \frac {q}{p-q}) \cdot p^{n-1}$ です。
したがって、$a_n = (a_1 + \frac {q}{p-q}) \cdot p^{n-1} - \frac {q^n}{p-q}$ です。
これが数列 $a_n$ の通項公式 $a_n = (a_1 + \frac {q}{p-q}) \cdot p^{n-1} - \frac {q^n}{p-q}$ です。
三、引发思考#
解決過程において、私たちが常に変換しているのは係数です。この変換は何らかの数学的な道具に関連しているのでしょうか？
実際、複素数とベクトルの線形演算にも類似の性質があります。例えば、複素数は二次元ベクトルとして表現でき、ベクトルの加算やスカラー乗法などの操作は行列を通じて表現できます。
复数与向量的线性运算#
複素数は二次元ベクトルの特例と見なすことができ、実部はベクトルの x 成分に、虚部は y 成分に対応します。複素数の加算と乗算は、ベクトル空間における線形結合に似ています。
ベクトル空間における線形演算には、ベクトルの加算、スカラー乗法、およびベクトルの線形結合が含まれます。これらの演算は行列を使用して表現でき、行列乗法はこれらの変換を実現する方法を提供します。
示例#
二つの複素数 $z_1 = a + bi$ と $z_2 = c + di$ があると仮定します。ここで、$a, b, c, d$ はすべて実数です。
加法#
複素数の加算は $z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i$ と表すことができます。
この操作を行列で表すことができます $\begin {pmatrix} a & b \ -b & a \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} c & d \ -d & c \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a+c & b+d \ -(b+d) & a+c \end {pmatrix}$
减法#
複素数の減算は $z_1 - z_2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i$ と表すことができます。
同様に、行列を用いて表現できます $\begin {pmatrix} a & b \ -b & a \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} c & d \ -d & c \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a-c & b-d \ -(b-d) & a-c \end {pmatrix}$
四、用矩阵解决最开始的问题#
最初の問題を解決するために、再び行列の方法を使用します：
状態ベクトルを $\mathbf {s}n = \begin {pmatrix} a_n \ q^n \end {pmatrix}$ と定義し、行列 $A = \begin {pmatrix} p & 1 \ 0 & q \end {pmatrix}$ を構築します。これにより、$\mathbf {s}{n+1} = A \mathbf {s}_n$ となります。
行列の累乗を計算します $A^{n-1}$
$A^{n-1} = \begin{pmatrix} p & 1 \ 0 & q \end{pmatrix}^{n-1}$
$A$ は上三角行列であるため、その累乗も上三角行列であり、対角要素はそれぞれ $p$ と $q$ の累乗です $A^{n-1} = \begin {pmatrix} p^{n-1} & * \ 0 & q^{n-1} \end {pmatrix}$
右上の要素を見つけるために、数学的帰納法を使用できます $A^2 = \begin {pmatrix} p^2 & p + q \ 0 & q^2 \end {pmatrix}$
$A^3 = \begin{pmatrix} p^3 & p^2 + pq + q \ 0 & q^3 \end{pmatrix}$
一般に、$A^{n-1} = \begin {pmatrix} p^{n-1} & \sum_{k=0}^{n-2} p^kq^{n-2-k} \ 0 & q^{n-1} \end {pmatrix}$
最終的に $\mathbf {s}_n = A^{n-1} \mathbf {s}_1$
$\mathbf {s}_n$ を計算することで、$a_n$ の表現を得ることができます。
このように、行列の方法は再帰数列を解くための新しい視点を提供します。
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